Question

4．如图，已知抛物线y=-x²+3x+6交y轴于A点，点C（4，k）在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于点M、N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值．

Answer 1

分析 根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得AC的解析式，根据图象向右平移减，可得平移后的解析式，根据解方程组，可得关于x的方程，根据根与系数的关系，可得两根之和，根据中点坐标公式，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
当x=0时，y=6，即A（0，6），
当x=4时，k=y=-4²+3×4+6=2，即C（4，2），
AC的解析式为y=kx+b，将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故AC的解析式为y=-x+6，
设平移后的解析式为y=-（x-n）²+3（x-n）+6=-x²+（2n+3）x-n²-3n+6，
联立AC与新抛物线，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-{x}^{2}+（2n+3）x-{n}^{2-3n+6}}\end{array}\right.$，
-x²+（2n+4）x-n²-3n=0
x₁+x₂=2n+4，
C点的横坐标$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=n+2=4，
解得n=2．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，注意两根之和等于-$\frac{b}{a}$，又利用了中点坐标公式：M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点的坐标（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．