Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位．

Answer 1

【答案】分析：（1）过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得△OAD≌△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；
（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）设出平移后的抛物线解析式，将D点坐标代入此函数的解析式中，即可求出平移后的函数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位．
解答：解：（1）过C作CE⊥AB于E，由抛物线的对称性可知AE=BE，
在Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴△AOD≌△BEC，
∴OA=BE=AE，（1分）
设菱形的边长为2m，
在Rt△AOD中，，
解得m=1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；（4分）

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+，
代入A点坐标可得a=-，
抛物线的解析式为y=-（x-2）²+；（7分）

（3）设抛物线的解析式为y=-（x-2）²+k，
代入D（0，）可得k=5，
所以平移后的抛物线的解析式为y=-（x-2）²+5，（9分）
向上平移了5-=4个单位．（10分）
点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移，综合性较强，难度适中．