【题目】已知抛物线y=ax2+ c(a≠0).
(1)若抛物线与x轴交于点B(4,0),且过点P(1,–3),求该抛物线的解析式;
(2)若a>0,c =0,OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线,与抛物线分别交于A、B 两点,求证:直线AB恒经过定点(0,);
(3)若a>0,c <0,抛物线与x轴交于A,B两点(A在B左边),顶点为C,点P在抛物线上且位于第四象限.直线PA、PB与y轴分别交于M、N两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)为定值,=
【解析】
(1)把点B(4,0),点P(1,–3)代入y=ax2+ c(a≠0),用待定系数法求解即可;
(2)如图作辅助线AE、BF垂直x轴,设A(m,am2)、B(n,an2),由△AOE∽△OBF,可得到,然后表示出直线AB的解析式即可得到结论;
(3)作PQ⊥AB于点Q,设P(m,am2+c)、A(–t,0)、B(t,0),则at2+c=0, c= –at2
由PQ∥ON,可得ON=amt+at2,OM= –amt+at2,然后把ON,OM,OC的值代入整理即可.
(1)把点B(4,0),点P(1,–3)代入y=ax2+ c(a≠0),
,
解之得
,
∴;
(2)如图作辅助线AE、BF垂直x轴,设A(m,am2)、B(n,an2),
∵OA⊥OB,
∴∠AOE=∠OBF,
∴△AOE∽△OBF,
∴,,,
直线AB过点A(m,am2)、点B(n,an2),
∴过点(0,);
(3)作PQ⊥AB于点Q,设P(m,am2+c)、A(–t,0)、B(t,0),则at2+c=0, c= –at2
∵PQ∥ON,
∴,
ON=====at(m+t)= amt+at2,
同理:OM= –amt+at2,
所以,OM+ON= 2at2=–2c=OC,
所以,=.
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【题目】如图,已知矩形,在上取两点在左边),以为边作等边三角形,使顶点在上.
(1)求△PEF的边长;
(2)若△PEF的边在线段上移动.分别交于点.求证:.
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【题目】已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB.
(1)直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;
(2)①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系;
(3)在MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD=时,直接写出BC的值.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB经过点O,CD是弦,且CD⊥AB于点F,连接AD,过点B的直线与线段AD的延长线交于点E,且∠E=∠ACF.
(1)若CD=2, AF=3,求⊙O的周长;
(2)求证:直线BE是⊙O的切线.
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【题目】如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则cos∠EFG的值为________.
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【题目】如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东60方向,距离灯塔100海里的A处,它计划去往位于灯塔P的北偏东45方向上的B处.(参考数据≈1.414, ≈1.732, ≈2.449)
(1)问B处距离灯塔P有多远?(结果精确到0.1海里)
(2)假设有一圆形暗礁区域,它的圆心位于射线PB上,距离灯塔190海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为50海里,进入这个区域,就有触礁的危险.请判断海轮到达B处是否有触礁的危险,并说明理由.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.
(1)求证:AM∥BN;
(2)求y关于x的关系式;
(3)求四边形ABCD的面积S,并证明:S≥2.
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【题目】如图,山区某教学楼后面紧邻着一个土坡,坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡比为i=1:,且AB=26米,为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过53°时,可确保山体不滑坡;
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长;
(2)为了消除安全隐患,学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示),那么BF至少是多少米?(结果精确到1米)
【参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75】
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1、2、3、4,另有一个可以自由旋转的圆盘.被分成面积相等的3个扇形区,分别标有数字1、2、3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去;否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
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