Question

【题目】已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，

（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；

（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）1

【解析】

试题（1）先判断出△的符号即可得出结论；

（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．

试题解析：解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．

（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．

又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．

得：b=﹣（p﹣1）2﹣1．

当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．