Question

2．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是①②③．（把所有正确答案的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．

解答 解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，则AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP'是正三角形，①正确；
又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°，②正确；
又△APP'是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°③正确；错误的结论只能是∠APC=105°．
故答案为①②③．

点评 本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．