Question

10．若双曲线y=$\frac{k}{x}$与边长为4的等边△AOB的边OA，AB分别相交于E，F两点，且EF⊥AE，则实数k的值为$\frac{36\sqrt{3}}{25}$．

Answer 1

分析 过E点作EH⊥OB于点H，过F点作FC⊥OB于点C，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例函数的图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出实数k的值．

解答 解：过E点作EH⊥OB于点H，过F点作FC⊥OB于点C，设BF=x．
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
∴BC=FB•cos∠FBC=$\frac{1}{2}$x，FC=FB•sin∠FBC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-$\frac{1}{2}$x，
∵EF⊥AE，
∴AE=AF•cosA=2-$\frac{1}{2}$x，
∴OE=OA-AE=$\frac{1}{2}$x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=$\frac{1}{4}$x+1，EH=OE•sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$，
∴E（$\frac{1}{4}$x+1，$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$），F（4-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∵E、F都在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（$\frac{1}{4}$x+1）（$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$）=（4-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x₁=4，x₂=$\frac{4}{5}$，
当x₁=4时，BF=4，AF=0，不合题意舍去，
∴x=$\frac{4}{5}$，
∴k=（4-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{36\sqrt{3}}{25}$．
故答案为$\frac{36\sqrt{3}}{25}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等边三角形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，设FB=x，用含x的代数式表示出E与F点的坐标是解题的关键．