Question

如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
（3）求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解；
解答：解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S_△ABC=S_△ABO+S_△BOC+S_△AOC，
∴；

（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD==30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R²=40²+（R-30）²，
∴R=；

（3）外接圆的圆心为O′，内切圆的圆心为O，
AO′=R=，AO=30-=，
所以OO′==25．
点评：此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．