Question

6．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，以线段BE，EF，FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？

Answer 1

分析 作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，易证∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠G，即可证明△DFC≌△BDG，可得FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，易证EF=EG和∠ABG=90°，即可解题．

解答 解：连接AD，作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，

∵BG∥FC，
∴∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠G，
在△DFC和△BDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠G}\\{∠FCD=∠DBG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△BDG，（AAS）
∴FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，
∵ED⊥FD，
∴EF=EG，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°，
∴△EBG为直角三角形，
∴BE、EF、FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DFC≌△BDG是解题的关键．