Question

如图，已知抛物线C：y=-x²+x+3与x轴交于点A、B两点，过定点的直线l：y=x-2（a≠0）交x轴于点Q．
（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点；
（2）写出点A、B的坐标：A（______）、B（______）及点Q的坐标：Q（______）（用含a的代数式表示）；并依点Q坐标的变化确定：当______时（填上a的取值范围），直线l与抛物线C在第一象限内有交点；
（3）设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得∠APB=90°？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由消去y，得x²-（-1）x-10=0
∵△=（-1）²+40＞0
∴不论a（a≠0）取何实数，方程组有两组不同的实数解，
故不论a（a≠0）取何实数，
抛物线C与直线l总有两个交点；

（2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每点坐标，共6分）
（写成a＞0或a＜只能给1分）；

（3）解：一、设存在满足条件的点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，则AN=x₀+2，BN=3-x₀，PN=y₀
∵∠APB=90°，PN⊥AB，则△APN∽△PBN．
∴PN²=AN•BN，
则有y₀²=（x₀+2）（3-x₀）
即y₀²=-x₀²+x₀+6①
∵点P（x₀，y₀）在抛物线C上
∴
即2y₀=-x₀²+x₀+6
由①、②可得y₀²=2y₀（y₀＞0）
∴y₀=2
把y₀=2代入②，得x₀=2或-1，
∴x₀＞0
∴x₀＞2
把x₀=2，y₀=2代入，
得
∴存在满足条件的P点，此时．
二、设存在满足条件的点P（x₀，y₀），连PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜边的中点，过点P作PN⊥AB，垂足为N，N的坐标为（x₀，0），连接PM，由Rt△PMN，得MN²+PN²=PM²
∴（x₀-）²+y²=
由
整理，得
③-④得，y₀²=2y₀．
三、设存在满足条件的点P（x₀，y₀），连PA、PB，使∠APB=90°
过点P作PN⊥AB，垂足为N，根据勾股定理得AP²+PB²=AB²=AN²+NP²+NP²+NB²=25
即（x₀+2）²+y₀²+y₀²+（3-x₀）²=25
整理得x₀²-x₀-6+y₀²=0
解方程组：
得：y₀=0或y₀=2．
所以x=3、-2、，
所以a=（舍去），或a=-1（舍去），a=（负值舍去）．
分析：（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点，就是求两个函数解析式组成的方程组有两个解，即利用代入法得到一个一元二次方程，可以根据根的判别式得到a的不等式，就可以求a的范围；
（2）抛物线y=-x²+x+3中令y=0，就可以求出与x轴的交点，得到点A、B两点的坐标．在直线l：y=x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐标；
（3）设存在满足条件的点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN²=AN•BN，就可以得到关于AN，BN的方程，再根据P（x₀，y₀）在函数的图象上，就可以得到关于AN、BN的方程，解这两个方程组成的方程组，就可以求出P的坐标．
点评：本题主要考查了利用韦达定理判断两个二元二次方程组成的解的个数．并且利用了相似三角形的性质，对应边的比相等．