Question

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）若AB=3cm，求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
（3）探究：当线段AB的长为多少时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形？

Answer 1

分析 解：（1）根据矩形的性质，可得DE=AB，BE=AD，根据勾股定理，可得CD的长；
（2）根据PD∥CQ，PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得DC的长，根据勾股定理，可得DE的长，根据矩形的性质，可得答案．

解答 解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB，BE=AD．
∵AD=9cm，BC=13cm，AB=3cm，
∴DE=3cm，CE=4cm，CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5cm；
（2）由题意，得PD=（9-t）cm，CQ=2tcm，
当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
9-t=2t，
解得t=3，
即当t=3时，四边形PDCQ是平行四边形；
（3）当t=3时，CQ=6cm．
∵四边形PDCQ是菱形，
∴CD=CQ=6cm．
又∵CE=4cm，
∴AB=DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
即当AB=2$\sqrt{5}$cm时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定，（1）利用了矩形的性质，勾股定理；（2）利用平行四边形的判定得出关于t的方程是解题关键；（3）利用菱形的性质得出CD的长是解题关键，有利用了勾股定理．