Question

15．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标；
（2）设点P是直线上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）连接BC，交直线与点P，则P点即为满足条件的点，由待定系数法可求得直线BC的解析式，则可求得P点坐标；
（3）可设出M点的坐标，则可表示出MA、MC和AC的长，分MA=MC、MA=AC和MC=AC三种情况分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），两点
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线过点C（0，3），
∴3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；
（2）如图1，连接BC，交直线与点P，

∵A、B关于对称轴对称，
∴PA=PB，此时B、C、P三点一线，
∴PA+PC最小，
即点P为使△PAC的周长最小的点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
  将B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=2，
即点P的坐标为（1，2）；
（3）∵点M在直线x=1上，
∴设M（1，m），且A（-1，0），C（0，3），
∴MA²=m²+4，MC²=m²-6m+10，AC²=10，
∵△MAC为等腰三角形，
∴有MA=MC、MA=AC和MC=AC三种情况，
①若MA=MC，则MA²=MC²，即m²+4=m²-6m+10，解得m=1，此时M点坐标为（1，1）；
②若MA=AC，则MA²=AC²，即m²+4=10，解得m=±$\sqrt{6}$，此时M点坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，$\sqrt{6}$）；
③若MC=AC，则MC²=AC²，即m²-6m+10=10，解得m=0或m=6，当m=6时，M、A、C三点共线，构不成在角形（舍去），此时M点坐标为（1，0），
综上可知存在符合条件的点M，其坐标为（1，1）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意抛物线解析式的三种形式的灵活运用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用M点的坐标表示出MA、MC和AC的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．