Question

如图，C为线段AB上一点，以BC为直径作⊙O，再以AO为直径作⊙M交⊙O于D、B作AB的垂线交AD的延长线于F，连接CD．若AC=2，且AC与AD的长是关于x的方程x²-2(1+

5

)x+k=0的两个根．
①求证：AD是⊙O的切线；
②求线段DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥AD即可；已知AO是⊙M的直径，那么根据圆周角定理即可判定OD⊥AD，由此得证．
（2）由根与系数的关系可求得AD的长，进而可根据切割线定理求得AB的值；设出DF、BF的长，然后在Rt△ABF中，由勾股定理求出DF的长．

解答：（1）证明：连接OD；
∵OA是⊙M的直径，
∴∠ADO=90°；
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半径，
故AD是⊙O的切线．

（2）解：由题意知：AC+AD=2(1+

5

)；
已知AC=2，则AD=2

5

；
由切割线定理知：AD²=AC•AB，即AB=AD²÷AC=10；
由于FD、FB都是⊙O的切线，故FD=FB；
设FD=FB=x，则AF=2

5

+x；
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即：
10²+x²=（2

5

+x）²，解得x=4

5

；
即线段DF的长为4

5

．

点评：本题主要考查了切线的判定、切割线定理、切线长定理、勾股定理以及韦达定理等知识的综合应用，难度适中．