Question

在课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA₁A₂是等腰三角形，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A₈A₉=1，
（1）请你先计算图中的线段OA₇，OA₈，OA₉的长，再猜想OA_n的长
（2）若∠A_n-1OA_n是第一个小于15°的角，求n的值．（备选数据：Sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

Answer 1

【答案】分析：（1）但分析可知，其内部存在一定的规律性，找出其内在规律即可解题，因为∠OA₁A₂=∠OA₂A₃=∠OA₃A₄=∠OA₄A₅=…=90°，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，
即每个三角形最外的那条直角边均为1，则由图可得出OA_n=；
（2）由勾股定理得其他各边的长度，再由三角函数的增减性，确定答案．
解答：解：（1）线段OA₇，OA₈，OA₉的长分别为，…，OA_n=；（（6分）     
（2）设OA₁=A₁A₂=A₂A₃…=A₈A₉=1，由勾股定理得，OA₂=，OA₃=，OA₄=2，…，OA₁₅=，则∠A₁OA₂=45°，∠A₃OA₄=30°，…，则∠A₁₄OA₁₅一定小于15°．
故n的值为15．…（12分）
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，此类题型是个重点也是难点，需要熟练掌握．