Question

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx与反比例函数y=\frac{2\sqrt{3}}{x}的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-a，O）、C（a，0）．
（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p，k，和a的值；
②观察猜想：对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）是平行四边形．
理由如下：
∵A（-a，0）、C（a，0），
∴OA=OC，
由对称性可知OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：平行四边形；

（2）①∵点B为（p，2），
∴\frac{2\sqrt{3}}{p}=2，
解得：p=\sqrt{3}，
∴点B（\sqrt{3}，2），
∴\sqrt{3}k=2，
解得：k=\frac{2\sqrt{3}}{3}，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=\frac{1}{2}AC，OC=\frac{1}{2}BD，
∴OB=OC，
∵OB=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}，
∴a=\sqrt{7}；

②对①中的a值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个．
理由：当a=时，点C的坐标为（\sqrt{7}，0），点A的坐标为（-\sqrt{7}，0），
若四边形ABCD是矩形，则有OB=OC=\sqrt{7}，
设点B的坐标为（x，y），得：\begin{cases} {x^{2}+y^{2}=(\sqrt{7})^{2}} \\ {xy=2\sqrt{3}} \end{cases}，
解得：\begin{cases} {x=\sqrt{3}} \\ {y=2} \end{cases}或\begin{cases} {x=2} \\ {y=\sqrt{3}} \end{cases}（负值舍去），
∴点B的坐标为（\sqrt{3}，2）或（2，\sqrt{3}）；

（3）四边形ABCD不能是菱形．
理由：若四边形ABCD是菱形，
则BD⊥AC，
∵点A、点C在x轴上，
∴直线BD与y轴重合，这与“双曲线y=\frac{2\sqrt{3}}{x}不与坐标轴相交”矛盾，
∴四边形ABCD不可能是菱形．
分析：（1）四边形ABCD为平行四边形，理由为：由A与C的坐标得到OA与OC相等，又根据对称的性质得到OB与OD相等，然后根据对角线平分的四边形为平行四边形得证；
（2）①把点B（p，2）代入反比例函数的解析式，即可求得p的值，然后代入正比例函数y=kx，即可求得k的值，又由四边形ABCD是矩形，可得OB=OC，即可求得a的值；
②由a=\sqrt{7}，即可确定出A与C的坐标，又根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OB与OC相等都等于\sqrt{7}，设出点B的坐标为（x，y），代入到反比例解析式中得到一个方程，由两点的距离公式，列出另一个方程，两方程联立即可求出x与y的值，进而得出点B的坐标；
（3）利用反证法来证，先假设四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且互相垂直，得到AC与BD垂直，又A与C在x轴上，故B与D在y轴上，与双曲线y=\frac{2\sqrt{3}}{x}不与坐标轴相交矛盾，则可证得四边形ABCD不能是菱形．
点评：点评：此题考查了平行四边形、矩形的性质，反证法以及一次函数与反比例函数的综合．要求学生掌握平行四边形及矩形的性质，理解反证法的步骤，综合运用所学知识，培养了学生发现问题，分析问题及解决问题的能力．学生在作第二问，求B坐标时注意B点在第一象限这个条件．其中反证法的步骤为：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证的定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．