Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；

（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）y=（x﹣1）2+2；（3）二次函数的图象不过点Q．

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法求得即可；

（2）根据题意得到顶点M（m，2m），根据平移的性质和顶点坐标得到抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，把x=2代入解析式求得P的纵坐标，即可求得PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），根据二次函数的性质得出当m=1时，PB最短，即可求得当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1），代入解析式得到方程a﹣1=（a﹣1）2+2，由于△＜0，此方程无解，说明此二次函数的图象不过点Q．

解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；

（2）∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，

∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴当m=1时，PB最短，

当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）

则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函数的图象不过点Q．