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    已知二次函数．

    （1）证明：不论取何值,该函数图象与轴总有两个公共点;
    （2）若该函数的图象与轴交于点(0,5),求出顶点坐标,并画出该函数图象．

    （1）证明见解析;（2）顶点坐标：（,）,图像见解析．

    解析试题分析：（1）证明对应的一元二次方程﹣x2+（m﹣3）x+m=0的根的判别式大于0,即可作出判断;
    （2）把x=0,y=5代入抛物线的解析式,即可得到一个关于m的方程,从而求得m的值,得到函数的解析式,然后把解析式化成顶点式的形式,即可求解．
    试题解析：（1）令,
    ,,
    ==,
    ∵（m-1）2≥0
    ∴（m-1）2+8＞0
    ∴b2-4ac＞0
    ∴不论取何值,该函数图象与轴总有两个公共点;
    （2）把,代入 
    ∴ 
    ∴= 
    顶点坐标：（,）．
    函数图象：

    考点：二次函数的图象．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图,已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为M（2,1）,且过点N（3,2）．

    （1）求这个二次函数的关系式;
    （2）若一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q,以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n,问:当n为何值时,线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知，关于x的二次函数，（k为正整数）.

    （1）若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的值.
    （2）若关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）都在二次函数（k为正整数）图象上，求使y1≤y2≤y3成立的m的取值范围.
    （3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．

    （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
    （2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．若以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．
    求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
    （3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
    ①当t为　 　秒时，△PAD的周长最小？当t为     秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
    ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知二次函数y=x2+2x-1.
    （1）写出它的顶点坐标；
    （2）当x取何值时，y随x的增大而增大；
    （3）求出图象与轴的交点坐标.

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线y=x²-4x+3．
    （1）该抛物线的对称轴是       ，顶点坐标               ；
    （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新的二次函数图像，请写出相应的解析式，并用列表，描点，连线的方法画出新二次函数的图像；

    x
         		…
         		 
         		 
         		 
         		 
         		 
         		…
     
    y
         		…
         		 
         		 
         		 
         		 
         		 
         		…
     
     

    （3）新图像上两点A（x1，y1），B（x2，y2），它们的横坐标满足＜-2，且-1＜＜0，试比较y1，y2，0三者的大小关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为3．

    （1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式          ，自变量的取值范围是          ；
    （2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；
    （3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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