Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．下列四个结论：①CE=CB；②四边形ABGE是等腰梯形；③AE=OE；④OF=CG．其中正确的结论只有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：由四边形ABCD是正方形，BE平分∠ABO，易求得∠EBO=22.5°，即可得∠CBE=∠CEB=67.5°，即可证得①CE=CB正确；
又由CF⊥BE，由三线合一，可得∠ECG=∠BCG=22.5°，EF=BF，易证得△ABE≌△BCG，即可得AE=BG，又由平行线分线段成比例定理，证得EG∥AB，即可得四边形ABGE是等腰梯形；
由△OEG是等腰直角三角形，可得EG=OF，又易证得△ECG≌△BCG，即可证得AE=OE；
由∠AOB=90°，EF=BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得OF=CG正确．
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB-BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，
∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵CF⊥BE，
∴∠ECG=∠BCG=∠BCO=22.5°，EF=BF，
∵∠ABE=∠ABO=22.5°，
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°，
∴△ABE≌△BCG，
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，
∴AE：OA=BG：OB，
∴EG∥AB，
∴四边形ABGE是等腰梯形；
故②正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴EG=OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴AE=EG=OE；
故③正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=BE=CG．
故④正确．
故正确的结论有①②③④．
故选D．
点评：此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．