Question

猜想与证明：

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为     ．

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

 

 

Answer 1

猜想：DM=ME

证明：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（1）如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME，

故答案为：DM=ME．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一条直线上，

在RT△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．