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    将一块锐角三角形的边角料加工成一个正方形的部件(如图)．已知BC＝12 cm，高AD ＝8 cm，正方形一边在BC上，另两顶点分别在AB、AC上．求这个正方形部件的边长．

    答案：4.8cm
    解析：

    ∵四边形MNPQ 是正方形，

    ∴MQ∥NP，即MQ∥BC．

    于是△AMQ∽△ABC，

    ……

    ∠AMQ ＝∠ABC．

    ∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°．

    ∵ME∥BD，∴∠AEM ＝90°．

    ∴∠AEM ＝∠ADB．

    于是△AME∽△ABD，

    ∴……

    由得

    设正方形MNPQ 的边长为x cm，

    则AE＝AD－ED＝(8－x)cm．

    ∴x＝MQ＝＝＝

    2x＝3(8－x)．

    解得x＝4．8，即正方形部件的边长是4．8cm．


    提示：

    本题涉及相似形和三角形的高，因此可以利用相似三角形的高之间的关系解决问题．


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    BD
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    （1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
    （2）求△CPQ周长的最小值；
    （3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．

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    （Ⅰ）求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；
    （Ⅱ）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．

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