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9.平面直角坐标系中,原点O关于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4对称点O1的坐标是($\frac{96}{25}$,$\frac{72}{25}$).

分析 由直线的解析式求得A、B的坐标,设O1O与直线y=-$\frac{4}{3}$x+4的交点为D,作O1E⊥x轴于E,根据题意OO1⊥AB,根据三角形面积公式求得OD的长,即可求得OO1的长,然后通过三角形相似求得OE的长,进一步根据勾股定理求得O1E的长,即可求得对称点O1的坐标.

解答 解:如图,∵原点O关于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4对称点O1
∴OO1⊥AB,
设O1O与直线y=-$\frac{4}{3}$x+4的交点为D,作O1E⊥x轴于E,
由直线y=-$\frac{4}{3}$x+4可知A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OD,
∴OD=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$,
∴OO1=$\frac{24}{5}$,
∵∠ADO=∠O1EO=90°,∠AOD=∠EOO1
∴△AOD∽△O1OE,
∴$\frac{O{O}_{1}}{OA}$=$\frac{OE}{OD}$,即$\frac{\frac{24}{5}}{3}$=$\frac{OE}{\frac{12}{5}}$,
∴OE=$\frac{96}{25}$,
∴O1E=$\sqrt{O{{\;}_{1}O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{72}{25}$,
∴点O1的坐标是($\frac{96}{25}$,$\frac{72}{25}$),
故答案为($\frac{96}{25}$,$\frac{72}{25}$).

点评 本题考查了坐标和图形变化-对称,三角形相似的判定和性质,勾股定理的应用等,求得直线与坐标轴的交点是解题的关键.

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