Question

在平面直角坐标系中，四边形AOCB是直角梯形，点A（0，4），AB、OC的长是一元二次方程x²-11x+28=0的两根．问：
（1）求点B、C的坐标；
（2）过点B的直线BD交线段OC于点D，且四边形AODB的面积与△BDC的面积比为6：5，求直线BD的解析式；
（3）若点P在直线BD上，点Q在y轴上，是否存在点P、Q，使得经PQBC为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程求出方程的解，然后写出点B、C的坐标即可；
（2）设OD=a，然后利用梯形的面积和三角的面积公式列出方程求解得到OD的长，然后写出点D的坐标，再写出点B的坐标，设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据平行四边形的性质可得点P、Q的横坐标的差与点B、C的横坐标的差相等，然后分点P在点Q的左边和右边两种情况分别求出点P的横坐标，再代入直线BD的解析式计算即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）x²-11x+28=0因式分解得，（x-4）（x-7）=0，
所以，x-4=0，x-7=0，
解得x₁=4，x₂=7，
所以，AB=4，OC=7，
∵点A（0，4），四边形AOCB是直角梯形，
∴点B（4，4）、C（7，0）；

（2）设OD=a，则CD=OC-OD=7-a，
S_{四边形AODB}=

1

2

（a+4）×4=2a+8，
S_△BDC=

1

2

（7-a）×4=14-2a，
∵四边形AODB的面积与△BDC的面积比为6：5，
∴

2a+8

14-2a

=

6

5

，
解得a=2，
即OD=2，
∴点D（2，0），
又∵AB=4，OA=4，
∴点B（4，4），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

2k+b=0 4k+b=4

，
解得

k=2 b=-4

，
∴直线BD的解析式为y=2x-4；

（3）∵四边形PQBC是平行四边形，
∴点P、Q的横坐标的差与点B、C的横坐标的差相等，
∵点C的横坐标比点B的横坐标大3，点Q在y轴上，
∴①点P在点Q的左边时，点P的横坐标为-3，
2×（-3）-4=-6-4=-10，
此时，点P（-3，-10），
②点P在点Q的右边时，点P的横坐标为3，
2×3-4=6-4=2，
此时，点P（3，2），
③以BC为对角线时，可得出P点（11，18），
此时Q（0，-14）形成平行四边形BQCP，
综上所述，点P（-3，-10）或（3，2）或（11，18）时，四边形PQBC是平行四边形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，难点在于（3）确定出点P的横坐标．