Question

15．如图，已知点A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；
（3）设F（t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2$\sqrt{3}$，DF=4，
∵点D与点A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2$\sqrt{3}$），
∴G（3，$\sqrt{3}$），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点G，
∴k=3$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；
（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F（t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），
又∵ED=2，
∴D（t+2，-$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
∵点G为边FD的中点．
∴G（t+1，-$\sqrt{3}$t+3$\sqrt{3}$），
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y=$\frac{m}{x}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}t+3\sqrt{3}=\frac{m}{t+1}}\\{-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}=\frac{m}{t}}\end{array}\right.$，
整理得：（-$\sqrt{3}$t+3$\sqrt{3}$）（t+1）=（-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）t，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=$\frac{15\sqrt{3}}{4x}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．