Question

14、已知关于x的方程ax²+bx+c=0，甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x₀，满足-1≤x₀≤1，那么乙得胜；反之，则甲得胜．
（1）若a，b，c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？为什么？
（2）若a，b，c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？为什么？

Answer 1

分析：（1）甲先选b=1，不论乙选a或c，甲总可以再选c或a，让ac＞0，使得△=1-4ac＜0，说明甲有必胜策略；
（2）①若甲先选a或b，则乙可选c=0，这时x=0必是方程ax²+bx+c=0的一个解；
②若甲先选c≠0，则乙可令a=-c，设y=ax²+bx+c，x=-1和x=1的函数值的积小于0，说明图象的交点在-1和1之间，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根，即甲不论再选b为何值，乙总可以获胜．
说明若a，b，c可以取零，乙有必胜策略．

解答：解：（1）如果a，b，c是非零实数，那么甲有必胜策略：甲先选b=1，不论乙选a或c，甲总可以再选c或a，使得△=1-4ac＜0，从而方程ax²+bx+c=0无解，即对于任意x，y≠0，所以甲必胜；
（2）如果a，b，c可以取零，那么乙有必胜策略：
①若甲先选a或b，则乙可选c=0，这时x=0必是方程ax²+bx+c=0的一个解；
②若甲先选c≠0，则乙可令a=-c，设y=ax²+bx+c，此时x=-1，y=a+b-a；x=1，y=a-b-a，（a+b-a）（a-b-a）=-b²≤0，说明图象与x轴的交点在-1和1之间，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根，即甲不论再选b为何值，乙总可以获胜．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时考查了分类讨论的思想方法和利用抛物线求一元二次方程根的范围．