Question

【题目】对于自变量为的函数，当时，其函数值也为，则称点为此函数的不动点.若函数图象上有两个不动点、，.

（1）若，，，求函数的不动点坐标；

（2）求证；；

（3）若函数，，，当时，

①求证：；

②求证：.

Answer 1

【答案】（1），（2）证明见解析（3）①证明见解析③证明见解析

【解析】

（1）先求出函数解析式，再令y=x2+2x=x，解x即可；

（2）证明出函数的最小值，根据不动点定义即可证明；

（3）①②进行作差运算，得到二次函数，根据二次函数图象的性质进行证明即可.

（1）∵，，.

∴.

令

∴，即，.

∴，

（2）证明：∵的顶点坐标是

∵

∴

∵是不动点

∴.∴

∴

（3）①证明：令

∵是开口向上，与轴有两个交点的二次函数

∴当时，随着增大而减小

∴当时

∴.即

②证明：令的对称轴

∴

∵

∴

由（2）得

∴即

∴当时，

在时，随着增大而增大

当时

∴

当时

∵当时，对应项相与当时对应项相等.

∴对应

最大值只能由当时，求当时取得

∴当时

随着增大而增大

∴对应.

∴最大，则最大

∴