Question

14．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC=6cm；②曲线MN的解析式为y=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{28}{5}$t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$；④若△PQC与△ABC相似，则t=$\frac{40}{7}$秒，其中正确的说法是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①正确．利用图中信息，求出AB，再利用勾股定理求出AC即可．
②正确．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH=PC•sinC=$\frac{4}{5}$（14-2t），y=$\frac{1}{2}$•BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$（14-2t）=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{28}{5}$t（4≤t≤7）．
③错误．当点P与A重合时，PQ的值最大．根据题意求得PQ的最大值$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
④正确．分两种情形讨论求解即可．

解答 解：如图1中，作AD⊥BC于D．

由题意AB=4×2=8cm，
在Rt△ABC中，∵BC=10cm，AB=8cm，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6cm，故①正确，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{1}{2}$•AB•AC，
∴AD=$\frac{24}{5}$
由题意当点P运动到A时，S_△BPQ=$\frac{48}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×BQ×$\frac{24}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∴BQ=4，
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴QD=BD-BQ=$\frac{32}{5}$-4=$\frac{12}{5}$，
∴PQ=$\sqrt{A{D}^{2}+D{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∴PQ的最大值为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH=PC•sinC=$\frac{4}{5}$（14-2t），

∴y=$\frac{1}{2}$•BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$（14-2t）=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{28}{5}$t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果$\frac{PC}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，则△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{14-2t}{6}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$．
如果$\frac{PC}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$时，△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{14-2t}{10}$=$\frac{10-t}{6}$，
解得t=-8不合题意．
综上所述，t=$\frac{40}{7}$s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选A．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会读懂图象信息解决问题，属于中考选择题中的压轴题．