Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．

解答：解：（1）根据题意，得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4×0+c

（2分）
解得

a=1 c=-5

（3分）
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5．（4分）

（2）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；（5分）
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=

OA2+OB2

=

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，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；（6分）
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；（8分）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意可得

b=-5 0=5k+b

解得

k=1 b=-5

所以直线BC的解析式为y=x-5；（9分）
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组

x=2 y=x-5

的解，
解得

x=2 y=-3

所求的点P的坐标为（2，-3）．（10分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．