分析 (1)根据切线的性质得到OB平分∠EBF,OC平分∠GCF,OF⊥BC,再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°,则有∠OBC+∠OCB=90°,即∠BOC=90°;
(2)连接OF,则OF⊥BC,根据勾股定理就可以求出BC的长,然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径,根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长.
解答 解:(1)∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,
∴OB平分∠EBF,OC平分∠GCF,OF⊥BC,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB,
又∵AB∥CD,
∴∠GCF+∠EBF=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°;
(2)连接OF,则OF⊥BC,
由(1)知,△BOC是直角三角形,
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=10,
∵S△BOC=$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•BC•OF,
∴6×8=10×OF,
∴0F=4.8,
∴⊙O的半径为4.8,
由(1)知,∠NCM=∠BCO,∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC,
∴$\frac{MN}{OB}=\frac{MN}{6}$,
即$\frac{MN}{6}=\frac{8+4.8}{8}$,
∴MN=9.6.
点评 本题考查了切线的判定与性质定理:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;圆的切线垂直于过切点的半径;过圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,圆心与这点的连线平分两切线的夹角.也考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质.
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