Question

17．已知AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，连接OB，OC．
（Ⅰ）如图1，求∠BOC的度数；
（Ⅱ）如图2，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N，当OB=6，OC=8时，求⊙O的半径及MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．

解答 解：（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=10，
∵S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•BC•OF，
∴6×8=10×OF，
∴0F=4.8，
∴⊙O的半径为4.8，
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC，
∴$\frac{MN}{OB}=\frac{MN}{6}$，
即$\frac{MN}{6}=\frac{8+4.8}{8}$，
∴MN=9.6．

点评 本题考查了切线的判定与性质定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．