【题目】如图,在平行四边形ABCD中(BC>AB),过A作AF⊥BC,垂足为F,过C作CH⊥AB,垂足为H,交AF于G,点E为FC上一点,且GE⊥ED.
(1)若FC=2BF=4,AB=,求平行四边形ABCD的面积.
(2) 若AF=FC,F为BE中点,求证:.
【答案】(1)24;(2)见解析.
【解析】
(1)由勾股定理求出AF的长度,然后即可求出面积;
(2)连接AC,先证△ABF≌△CGF,得AG=CE,再证△AGC≌△ECD,得ED=AC,就可以证明.
解:(1)∵FC=2BF=4,
∴BF=2,BC=2+4=6,
∵AF⊥BC,
∴∠AFB=90°,
在直角三角形ABF中,由勾股定理得,
,
∴平行四边形ABCD的面积为:;
(2)连接AC,如图:
,
∵AF⊥BC,CH⊥AB,
∴∠AFB=∠CFG=∠CHB=90°,
∴∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠BCH=90°,
∴∠BAF=∠BCH,
∵AF=CF,
∴△ABF≌△CGF,
∴BF=GF,AB=CG=CD,
∵F为BE中点,
∴BF=GF=EF,
∴,
即AG=CE,
∵∠AGC=∠GFC+∠BCH=90°+∠BCH,
∠BAD=∠GAD+∠BAF=90°+∠BAF,
∴∠AGC=∠BAD=∠ECD,
∴△ACG≌△EDC,
∴AC=DE,
∵在直角三角形ACF中,由勾股定理,得
,
∵AD+AG=BC+CE=2EF+2CE=2CF,
即
∴,
∴.
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【题目】已知,如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC,BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)求证:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)求CF的长
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【题目】甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如下表,他们5次考试的总成绩相同,请同学们完成下列问题:
第1 次 | 第2 次 | 第 3次 | 第 4次 | 第5 次 | |
甲成绩 | 90 | 40 | 70 | 40 | 60 |
乙成绩 | 70 | 50 | 70 | 70 |
(1)统计表中,求的值,甲同学成绩的极差为多少;
(2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60,方差是[(90﹣60)2+(40﹣60)2+(70﹣60)2+(40﹣60)2+(60﹣60)2]=360.
请你求出乙同学成绩的平均数和方差;
(3)从平均数和方差的角度分析,甲乙两位同学谁的成绩更稳定.
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【题目】为了适合不同人群的口味,某商店对苹果味、草莓味、牛奶味的糖果混合组装成甲、乙两种袋装进行销售.甲种每袋装有苹果味、草莓味、牛奶味的糖果各10颗,乙种每袋装有苹果味糖果20颗,草莓味和牛奶味糖果各5颗.甲、乙两种袋装糖果每袋成本价分别是袋中各类糖果成本之和.已知每颗苹果味的糖果成本价为0.4元,甲种袋装糖果的售价为23.4元,利润率为30%,乙种袋装糖果每袋的利润率为20%.若这两种袋装的销售利润率达到24%,则该公司销售甲、乙两种袋装糖果的数量之比是__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD中顶点A坐标(0,6),顶点B坐标(-2,0),顶点C坐标(8,0),点E为平行四边形ABCD的对角线的交点,求过点E且到点C的距离最大的直线解析式____.
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【题目】已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
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【题目】(概念认知):
城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(,)和B(,),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=+.
(数学理解):
(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)= ;②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示,B是图像上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 .
(2)函数(x>0)的图像如图②所示,求证:该函数的图像上不存在点C,使d(O,C)=3.
(3)函数(x≥0)的图像如图③所示,D是图像上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.
(问题解决):
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)
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【题目】如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上,那么不能判定DE∥BC的比例式是( )
A. AD:DB=AE:EC B. DE:BC=AD:AB
C. BD:AB=CE:AC D. AB:AC=AD:AE
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