Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=1s时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当△ACP是等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）当t=1s时，△ACP是直角三角形，根据公式求△ACP的面积；
（2）如图3，过P作PH⊥AB于H，Rt△PHB中，PB=8-2t，根据勾股定理列方程可求解；
（3）分四种情况进行讨论：
①如图4，根据AC=CP列式求解；
②如图5，根据AC=AP列式求解；
③如图6，AP=PC，根据AP=PB列式求解；
④如图7，AC=CP，根据AP的值列式求解．

解答 解：（1）如图1，点P在BC上，
由题意得：CP=2t，
当t=1时，PC=2，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
如图2，Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
（2）如图3，AP平分∠CAB，
过P作PH⊥AB于H，
∵∠C=90°，
∴PC=PH=2t，
∵∠C=∠AHP=90°，AP=AP，
∴△ACP≌△AHP，
∴AH=AC=6，
∴BH=4，
在Rt△PHB中，PB=8-2t，
∴（2t）²+4²=（8-2t）²，
t=$\frac{3}{2}$；
则当t=$\frac{3}{2}$时，线段AP是∠CAB的平分线；
（3）当△ACP是等腰三角形时，有四种情况：
①如图4，AC=CP，2t=6，
t=3，
②如图5，AC=AP，18-2t=6，
t=6，
③如图6，AP=PC，
过P作PG⊥AC于G，
∵∠C=90°，
∴PG∥BC，
∴AP=PB，
即18-2t=2t-8，
t=$\frac{13}{2}$，
④如图7，AC=CP，
过C作CM⊥AB于M，
∴AM=PM，
tan∠CAB=$\frac{CM}{AM}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
设CM=4x，AM=3x，则AC=5x，
5x=6，
x=$\frac{6}{5}$，
∴AP=6x=6×$\frac{6}{5}$=$\frac{36}{5}$，
18-2t=$\frac{36}{5}$，
t=5.4，
综上所述，当△ACP是等腰三角形时，t的值是3s或6s或$\frac{13}{2}$s或5.4s．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了动点运动问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角函数、角平分线的性质等知识，首先要确定动点P的运用路程=时间t×速度2，本题在第3问的等腰三角形中采用了分类讨论的思想，注意不要丢解，并利用数形结合的思想解决问题．