Question

1．?ABCD中，∠ABC=60°，∠ABC的角平分线与AD交于点E，交CD延长线于点F，FG∥DA且FG=DE，连接CG，CG与EF交于点H．
（1）若AB=2，BC=3，求BH的长；
（2）求证：∠DAC+∠GCF=∠ACG．

Answer 1

分析 （1）延长BA，FG交于M，连接MC，得到四边形AMFD是平行四边形，证得△CBF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到BC=CF，于是得到平行四边形BCFM是菱形连接CM，交BF于O，根据菱形的性质得到BO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{HF}{BH}=\frac{GF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，即可得到结论；
（2）通过△AMC≌△GFC，得到∠ACM=∠GCF，根据平行线的性质得到∠ACB=∠DAC，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图，延长BA，FG交于M，连接MC，
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AMFD是平行四边形，
∴DF=AM，
∵∠ABC=60°，BF平分∠ABC，
∴∠CBF=30°，∠BCD=120°，
∴∠CFB=30°，
∴△CBF是等腰三角形，
∴BC=CF=3，
∴DF=AM=1，
∴DE=DF=GF=1，
∴平行四边形BCFM是菱形，
连接CM，交BF于O，
∴CM⊥BF，BO=FO，
∴BO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴BF=3$\sqrt{3}$，
∵GF∥BC，
∴△GFH∽△BCH，
∴$\frac{HF}{BH}=\frac{GF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵∠ABC=60°，
∴△BCM，△CMF全等的等边三角形，
∴CM=CF，∠CMA=∠CFG=60°，
∵DE=AM，FG=DE，DF=AM，
∴AM=GF，
在△AMC与△GFC中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}\\{∠CMA=∠CFG}\\{AM=GF}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△GFC，
∴∠ACM=∠GCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACB+∠ACM=∠ACM+∠GCM=∠DAC+∠MCG，
∴∠ACG=∠ACM+∠MCG=∠GCF+∠MCG，
∴∠DAC+∠GCF=∠ACG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得四边形AMFD是平行四边形是解题的关键．