Question

如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．

（1）△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC吗？为什么？

Answer 1

（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论；（2）平分

试题分析：（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论；
（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，由△ABF≌△CAE．可得∠BAF＝∠CAE，即可得到∠CAE＋∠CAF＝60°，则∠AHC＝120°，由∠ADC＝60°，可得∠HAD＋∠HCD＝180°，从而可得∠HCD＝∠KAD，即可证得△ADK≌△CDG，再结合DG⊥CH，DK⊥FA即可得到结论．
（1）∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC．
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝∠CAB＝60°．
又∵AE＝BF，AB＝AC，
∴△ABF≌△CAE；
（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，
∵△ABF≌△CAE．
∴∠BAF＝∠CAE，
∵∠BAF＋∠CAF＝60°，
∴∠CAE＋∠CAF＝60°，
∴∠AHC＝120°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠HAD＋∠HCD＝180°，
∵∠HAD＋∠KAD＝180°，
∴∠HCD＝∠KAD，
∵AD＝CD，∠DGC＝∠AKD＝90°，
∴△ADK≌△CDG，
∴DK＝DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．
点评：此类问题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，一般难度不大.