Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．设△PQD的面积为S，点移动的时间为x（x＞0）
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？

Answer 1

分析 （1）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出结果；
（2）S是x的二次函数，配方后即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意得：AP=x，BQ=2x，
则BP=6-x，CQ=12-2x，
∴△PQD的面积S=矩形ABCD的面积-△APD的面积-△PBQ的面积-△CDQ的面积
=12×6-$\frac{1}{2}$×12x-$\frac{1}{2}$•2x（6-x）-$\frac{1}{2}$×6（12-2x）
=x²-6x+36，
∴S=x²-6x+36（0＜x≤6）；
（2）∵S=x²-6x+36=（x-3）²+27，1＞0，
∴当x=3时，S最小；
即经过3s时，△PQD的面积最小．

点评 本题考查了矩形的性质、二次函数的最值；间接求出三角形的面积是解决问题的关键．