Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．
（1）直接写出点C和点D的坐标，C（

 

）、D（

 

）；
（2）求出过A，D，C三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB的解析式，易求得A、B的坐标，过C作x轴的垂线，设垂足为M，通过构建的全等三角形△AOB和△BMC所得到的相等线段即可求出C点的坐标，同理可求出D点的坐标；
（2）已知抛物线图象上三点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）直线y=-

1

2

x+1中，
令y=0，得x=2，令x=0，得y=1；
∴A（0，1），B（2，0）；
过C作CM⊥x轴于M；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM=90°，
即∠BAO=∠CBM；
∴Rt△ABO≌Rt△BCM；
∴BM=OA=1，CM=OB=2，即OM=OB+BM=3；
∴C（3，2），
过D点作DF⊥x轴于点F，可知OF=1，DF=3，
∴D（1，3）；
∴C、D的坐标分别为：C（3，2），D（1，3）（每空2分）

（2）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1
∴A点坐标为（0，1）（1分）
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
把点A（0，1），C（3，2），D（1，3）代入得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

（2分）
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

∴二次函数的解析式为y=-

5

6

x2+

17

6

x+1．（2分）

点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数解析式的确定，此题是基础题，需要熟练掌握．