Question

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：OE=

1

2

CD；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形外角的性质可以得到∠DCF=∠CBD+∠CDB，再根据∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB即可得到结论；
（2）连接AO并延长交⊙O与点G，连接GB，利用三角形中位线的性质即可得到OE=

1

2

CD．
（3）结论仍然成立，证明方法同（2）．

解答：（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．（1分）

（2）解：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE=

1

2

BG．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE=

1

2

CD．（4分）

（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE=

1

2

BG．
由（1）证明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE=

1

2

CD．（7分）

点评：本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理垂径定理等知识，是一道难度较大的综合题目．