Question

【题目】如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．

①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，或．

【解析】

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．

解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：…①，

令，则或，

即点；

（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：…②，

设点，则点，

，

，有最大值，当时，其最大值为；

②设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，

，点H在BC的中垂线上，

线段BC的中点坐标为，

过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，

设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：

直线BC中垂线的表达式为：…③，

同理直线CD的表达式为：…④，

联立③④并解得：，即点，

同理可得直线BH的表达式为：…⑤，

联立①⑤并解得：或（舍去），

故点；

当点在直线BC上方时，

，，

则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，

即直线BP′的表达式为：…⑥，

联立①⑥并解得：或（舍去），

故点；

故点P的坐标为或．