Question

如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：PE=PF；
（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由；
（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

．求此时∠BAC的大小．

Answer 1

分析：（1）可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；
（2）由一对邻补角的平分线互相垂直，得出∠ECF=90°，故要使四边形AECF是矩形，只需四边形AECF是平行四边形即可．由（1）知PE=PF，则点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．
（3）由正方形的对角线相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的大小．

解答：（1）证明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）解：当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中点，
∴AP=PC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=

1

2

（∠BCA+∠ACD）=

1

2

×180°=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；

（3）解：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．

点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性质，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值等知识点，难度较大．