Question

2．如图，已知BE是△ABC的外接圆的直径，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=8，CD=6，则BE的长为5$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接CE，根据勾股定理可求BC、AC的长，通过证明△ACD∽△EBC，得到：$\frac{AC}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，可以求得BE的长度．

解答 解：连接EC．

∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△BDC中，由勾股定理得到：BC=$\sqrt{D{B}^{2}+D{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵BE是直径，
∴∠BCE=90°．
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ECB=90°．
又∠ACD=∠EBC，
∴△ACD∽△EBC．
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{3\sqrt{5}}{BE}=\frac{6}{10}$．
解得 BE=5$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定、圆周角定理、勾股定理的应用，利用相似三角形的判定和性质推知图中相关线段间的数量关系是解题的关键．