Question

如图，∠B=∠D=Rt∠，AB=CD=b，BC=DE=a，AC=c，
（1）请问△ACE是否为等腰直角三角形？请说明理由．
（2）请你通过两种不同方法计算梯形ABDE的面积，并利用计算的结果验证勾股定理a²+b²=c²
（3）你能运用上面图形中若干个Rt△ABC构造出另一种证明勾股定理的图形吗？请画出构造后的示意图．（无需证明）

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC与Rt△CDE中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（SAS），
∴∠ACB=∠CED，AC=CE=c，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；

（2）∵S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）²，S_梯形=2×ab+c²，
∴（a+b）²=2×ab+c²，
整理得，a²+b²=c²；

（3）如图所示，此题答案不唯一．
分析：（1）利用“SAS”证明Rt△ABC与Rt△CDE全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠CED，全等三角形对应边相等可得AC=CE，然后求出∠ACE=90°，从而得证；
（2）根据图形的面积可以用梯形的面积求解，也可以用三个直角三角形的面积求解，然后整理即可得解；
（3）可以拼接成以两直角边的和为边长的大正方形，也可以拼接成以斜边为边长的大正方形解答．
点评：本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，此类题目最常用的方法是根据图形的面积可以用不同列法表示，然后根据同一个图形的面积相等列式整理从而得证．