A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 根据$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$和点E是点D关于AB的对称点,求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°,求出∠CED,即可判断①②;根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③;求出M点的位置,根据圆周角定理得出此时DF是直径,即可求出DF长,即可判断④.
解答 解:∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$,点E是点D关于AB的对称点,
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BE}$,
∴∠DOB=∠BOE=∠COD=$\frac{1}{3}×180°$=60°,∴①正确;
∠CED=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}×60°$=30°=$\frac{1}{2}∠DOB$,∴②正确;
∵$\widehat{BE}$的度数是60°,
∴$\widehat{AE}$的度数是120°,
∴只有当M和A重合时,∠MDE=60°,
∵∠CED=30°,
∴只有M和A重合时,DM⊥CE,∴③错误;
做C关于AB的对称点F,连接CF,交AB于N,连接DF交AB于M,此时CM+DM的值最短,等于DF长,
连接CD,
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$=$\widehat{AF}$,并且弧的度数都是60°,
∴∠D=$\frac{1}{2}×120°$=60°,∠CFD=$\frac{1}{2}×60°$=30°,
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°,
∴DF是⊙O的直径,
即DF=AB=10,
∴CM+DM的最小值是10,∴④正确;
故选C.
点评 本题考查了圆周角定理,轴对称-最短问题等知识点,能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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