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5.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=10,$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$,点E是点D关于AB的对称点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=$\frac{1}{2}$∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10,上述结论中正确的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 根据$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$和点E是点D关于AB的对称点,求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°,求出∠CED,即可判断①②;根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③;求出M点的位置,根据圆周角定理得出此时DF是直径,即可求出DF长,即可判断④.

解答 解:∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$,点E是点D关于AB的对称点,
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BE}$,
∴∠DOB=∠BOE=∠COD=$\frac{1}{3}×180°$=60°,∴①正确;
∠CED=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}×60°$=30°=$\frac{1}{2}∠DOB$,∴②正确;
∵$\widehat{BE}$的度数是60°,
∴$\widehat{AE}$的度数是120°,
∴只有当M和A重合时,∠MDE=60°,
∵∠CED=30°,
∴只有M和A重合时,DM⊥CE,∴③错误;

做C关于AB的对称点F,连接CF,交AB于N,连接DF交AB于M,此时CM+DM的值最短,等于DF长,
连接CD,
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$=$\widehat{AF}$,并且弧的度数都是60°,
∴∠D=$\frac{1}{2}×120°$=60°,∠CFD=$\frac{1}{2}×60°$=30°,
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°,
∴DF是⊙O的直径,
即DF=AB=10,
∴CM+DM的最小值是10,∴④正确;
故选C.

点评 本题考查了圆周角定理,轴对称-最短问题等知识点,能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键.

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 星期一  二三  四五  六七 
 增减(单位:个)+5-2 -5+15 -10+16 -9
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(2)本周产量中最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品;
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(3)25×$\frac{3}{4}$+(-25)×$\frac{1}{2}$+25×(-$\frac{1}{4}$)
(4)(-99$\frac{98}{99}$)×99
(5)-12017-[2-(1-$\frac{1}{3}$×0.5)]×[32-(-2)2]
(6)|$\frac{4}{3}$-$\frac{3}{2}$|+[$\frac{1}{2}$×22-(-$\frac{3}{2}$)2].

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