Question

在△ABC中，∠C=90°，∠CBA的外角平分线，交AC的延长线于F，交斜边上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF=CE；②GE=CF；③EF是CG的垂直平分线；④BC=BG．其中正确的是（　　）

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①②

Answer 1

分析：由BF平分∠GBC得∠GBF=∠CBF，易得∠CBF=∠EBD，利用等角的余角相等得到∠F=∠BED，利用等腰三角形的性质即可得到①正确；由GE∥AF，利用平行线的性质得∠F=∠GEB，则∠GEB=∠CEB，易证△BEG≌△BEC，则GE=CE，即可得到②正确；根据等腰三角形的性质易得EB垂直平分GC，所以③正确；根据垂直平分线的性质得BG=BC，所以④正确．

解答：解：∵BF平分∠GBC，
∴∠GBF=∠CBF，
而∠GBF=∠EBD，
∴∠CBF=∠EBD，
∵∠BCA=90°，CD为高，
∴∠F=∠BED，
∴CF=CE，所以①正确；
又∵GE∥AF，
∴∠F=∠GEB，
∴∠GEB=∠CEB，
而∠GBF=∠CBF，
∴∠GBE=∠CBE，
BE公共，
∴△BEG≌△BEC，
∴GE=CE，
∴GE=CF，所以②正确；
在△EGC中，
EC=EG，BE平分∠CEG，
∴EB垂直平分GC，所以③正确；
∴BG=BC，所以④正确．
故选A．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，且它们的夹边也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质．