Question

已知关于x的方程x²+x+a-a²=0和x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0．问是否存在这样的a值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根？若存在，求出这样的a值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：第一个方程x²+x+a-a²=0，即有（x+a）（x+1-a）=0，
∴x₁=-a，x₂=a-1，
故x₁²+x₂²=a²+（a-1）²=2a²-2a+1，
由第二方程x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0，
得[x-（2a+1）][x-（a-2）]=0，
x₃=2a+1，x₄=a-2，
若x₃为整数，则2a²-2a+1=2a+1，解得a=0或2，此时x₃=1或5，
若x₄为整数，则2a²-2a+1=a-2，即2a²-3a-3=0，此方程无实数根，
综上可知，当a=0或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根．
分析：可把两个方程都进行因式分解，得到用字母表示的未知数的值，根据第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根求解．
点评：解决本题的关键是根据所给条件得到两根，再根据题中所给的关键话得相应的等量关系．