Question

19．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BN向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）P点的坐标为（t，-$\frac{3}{4}$t+3），PC=$\frac{5}{4}$t（用含x的代数式表示）；
（2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点C坐标，进而得出直线AC解析式，即可得出点P的坐标，最后用两点间的距离公式即可得出结论；
（2）先得出AC=5，BN=t，CN=4-t，用相似三角形的性质列出方程即可求出时间t；
（3）由菱形的性质，邻边相等即可分三种情况列方程即可求出时间t．

解答 解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），
∴C（0，3），∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵点M从点O向点A以每秒1个单位的速度运动，
∴OM=t，当x=t时，y=-$\frac{3}{4}$t+3，
∴P（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∵C（0，3），
∴CP=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{3}{4}t+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
故答案为：t，-$\frac{3}{4}$t+3，$\frac{5}{4}$t，
（2）∵A（4，0），B（4，3），
∴OA=BC=4，OB=3，
∴AC=5，
由运动知，BN=t，
∴CN=4-t，
由（1）知，CP=$\frac{5}{4}$t，
∵∠ACB=∠PCN，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①当$\frac{BC}{CN}=\frac{AC}{CP}$时，
∴$\frac{4}{4-t}=\frac{5}{\frac{5}{4}t}$，
∴t=2，
②当$\frac{BC}{CP}=\frac{AC}{CN}$时，
∴$\frac{4}{\frac{5}{4}t}=\frac{5}{4-t}$，
∴t=$\frac{64}{41}$，
∴t为2或$\frac{64}{41}$时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似．
（3）由（1）知，CP=$\frac{5}{4}$t，P（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
由（2）知，CN=4-t，
∴N（4-t，3），
∴PN=$\sqrt{（4-t-t）^{2}+（3+\frac{3}{4}t-3）^{2}}$=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∵以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，
∴①当CP=CN时，
∴$\frac{5}{4}$t=4-t，
∴t=$\frac{16}{9}$，
②当 CP=PN时，$\frac{5}{4}$t=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∴t=4（舍）或t=$\frac{4}{3}$
③当CN=PN时，4-t=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∴t=0（舍）或t=$\frac{128}{57}$，
以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形时，t的值为$\frac{16}{9}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{128}{57}$秒．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了平面坐标系内两点间的公式，相似三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键分类讨论思想，是一道比较简单的中考常考题．