Question

12、在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P，边BC上取点Q，边CD上取点M，边AD上取点N．如果PM⊥QN，
求AP+AN+CQ+CM的值．

Answer 1

分析：利用旋转法将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知AN=AN₁，CQ=C₁Q₁，由于旋转90°，QN由PM⊥QN到PM∥Q₁N₁，故有PM∥N₁Q₁，从而PN₁=MQ₁，将AP+AN+CQ+CM转化为CC₁的长求解．

解答：解：如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，
则正方形ABCD变到正方形ADC₁D₁的位置，线段QN变为Q₁N₁，
AN=AN₁，CQ=C₁Q₁，
由PM⊥QN，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，
可得Q₁N₁⊥QN，
∴PM∥N₁Q₁，
所以PN₁=MQ₁，
则AP+AN+CQ+CM=CC₁=2．

点评：本题考查了用旋转法解决几何问题的方法．关键是通过旋转将所求线段的和转化到同一条直线上．