Question

如图，已知反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象与一次函数y=-

1

2

x+

5

2

的图象交于A、B两点，点C的坐标为（1，

1

2

），连接AC，AC平行于y轴．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CAB总相似，简要说明判断理由．

Answer 1

分析：（1）点C的坐标为（1，

1

2

），AC平行于y轴．因而A点的横坐标是1，把x=1代入一次函数y=-

1

2

x+

5

2

的解析式，就可以求出A点的坐标，代入反比例函数y=

m

x

（x＞0）的解析式，就可以求出m的值．解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组就可以解得B点的坐标；
（2）因为B、C两点纵坐标相等，所以BC∥x轴，又因为AC∥y轴，所以△CAB为直角三角形，同时△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，因而△PMN∽△CAB．

解答：解：（1）由C（1，

1

2

）得A（1，2），代入反比例函数y=

m

x

中，得m=2，
∴反比例函数解析式为：y=

2

x

(x＞0)，（2分）
解方程组

y=- 1 2 x+ 5 2 y= 2 x

，
由-

1

2

x+

5

2

=

2

x

化简得：x²-5x+4=0（x-4）（x-1）=0，
解得x₁=4，x₂=1，
∴B（4，

1

2

）；（5分）

（2）无论P点在AB之间怎样滑动，△PMN与△CAB总能相似．
∵B、C两点纵坐标相等，∴BC∥x轴，
∵AC∥y轴，∴△CAB为直角三角形，
同时△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，∴△PMN∽△CAB．（8分）
（在理由中只要能说出BC∥x轴，∠ACB=90°即可得分）

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数交点坐标的求法．同时同学们要掌握解方程组的方法．