【题目】如图,直线交y轴于点C,交x轴于点D,直线经过点A(4,0),且两直线交于点B(2,m).
(1)求m的值和直线的函数表达式;
(2)直线在第一象限内的部分有一点E,且,求出点E的坐标,并在y轴上找一点P,使得BP+PE的值最小,求出P的坐标和这个最小值;
(3)在(2)的条件下,若点Q为y轴上一点,且△BPQ为等腰三角形,请直接写出点Q的坐标.
【答案】(1),;(2)E(6,2) ,P(0,-1),最小值为:;(3)点Q的坐标为或或(0,-3)或(0,).
【解析】
(1)首先易求m的值,得到B点坐标,然后用待定系数法求直线的函数表达式即可;
(2)求出D(1,0),得出AD=3,根据且点E在第一象限内的直线上,可得E点纵坐标为2,进而得到E(6,2),作点B(2,-2)关于y轴的对称点B1(-2,-2),连接B1E交y轴于点P,此时B1P+PE最小,用两点间距离公式可求这个最小值,然后再用待定系数法求出直线B1E的解析式,进而可得P的坐标;
(3)分三种情况:①当BP=PQ时,求出BP,即可得到点Q坐标;②当BP=BQ时,则点B在线段PQ的垂直平分线上,进而得到点Q坐标;③当BQ=PQ时,可根据两点间距离公式列方程求出点Q坐标.
解:(1)∵点B(2,m)在直线上,
∴,
∴B(2,-2),
设直线,
∵A(4,0),B(2,-2)在直线上,
∴,解得:,
∴直线的函数表达式为:;
(2)令-2x+2=0,解得 x=1,
∴D(1,0),
∵A(4,0),B(2,-2),
∴AD=3,
由条件设E(a,b),
∵,
∴,
∵E(a,b)在第一象限内的直线上,
∴b=2,
∴a=6,即E(6,2) ,
作点B(2,-2)关于y轴的对称点B1(-2,-2),连接B1E交y轴于点P,此时BP+PE最小,
最小值为,
设直线B1E的解析式为y=kx+b,
则,解得:,
∴直线B1E的解析式为,
当x=0时,y=-1,
∴P(0,-1);
(3)由题意得:B(2,-2),P(0,-1),△BPQ为等腰三角形,
①当BP=PQ时,
∵,
∴点Q纵坐标为或,
∴点Q坐标为:或;
②当BP=BQ时,则点B在线段PQ的垂直平分线上,易得点Q纵坐标为-3,
∴点Q坐标为:(0,-3);
③当BQ=PQ时,设点Q坐标为(0,n),
则,
解得:,
∴点Q坐标为:(0,),
综上所述,满足条件的点Q的坐标为或或(0,-3)或(0,).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=9cm,DE=3cm,则BC的长为 ( )
A.12cmB.11cmC.9cmD.6cm
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【题目】“网络红包”是互联网运营商、商家通过组织互联网线上活动、派发红包的互联网工具,是朋友间互道祝福的表达形式之一.“网络红包”春节活动已经逐渐深入到大众的生活中,得到了人们较为广泛的关注.根据某咨询公司(2018年中国春节“网络红包”专题调查报告》显示:在接受调查的8万名网民中,对“网络红包”春节话动了解程度的占比方面,“较为了解”和“很了解”的网民共占比64%,分别占比36%和28%.在“不了解”和“只了解一两个“的受访网民中,“不了解”的网民人数比“只了解一两个”的网民人数多25%.如图是该咨询公司绘制的“中国网民关于‘网络红包’春节活动了解情况调查”统计图(不完整).
请根据以上信息解答下列问题:
(1)在受访的网民中,“不了解”和“只了解一两个”的网民人数共有 万人,其中“不了解”的网民人数是 万人;
(2)请将扇形统计图补充完整;
(3)2017除夕晚上小聪和爸爸、妈妈一起玩微信抢红包游戏,他们约定由爸爸在家人微信群中先后发两次“拼手气红包”,每次发放的红包数是3个,每个红包抽到的金额随机(每两个红包的金额都不相等),每次谁抽到红包的金额最大谁就是“手气最佳”者,求两次游戏中小聪都能获得“手气最佳”的概率为多少?
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【题目】某班为了解学生一学期做义工的时间情况,对全班50名学生进行调查,按做义工的时间(单位:小时),将学生分成五类: 类( ),类(),类(),类(),类(),绘制成尚不完整的条形统计图如图11.
根据以上信息,解答下列问题:
(1) 类学生有_________人,补全条形统计图;
(2)类学生人数占被调查总人数的__________%;
(3)从该班做义工时间在的学生中任选2人,求这2人做义工时间都在 中的概率.
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【题目】快、慢两车分别从相距540千米路程的甲、乙两地同时出发,匀速行驶,先相向而行,途中慢车因故停留1小时,然后以原速度继续向甲地行驶,到达甲地后停止行驶;快车到达乙地后,立即按原路原速返回甲地(快车掉头的时间忽略不计),快、慢两车距乙地的路程y(千米)与所有时间x(小时)之间的函数图像如图。快车与慢车第一次相遇时,慢车距离甲地_________千米.
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【题目】如图所示,D是等边三角形ABC外一点,DB=DC,∠BDC=120°,点E,F分别在AB,AC上.
(1)求证:AD是BC的垂直平分线.
(2)若ED平分∠BEF,求证:FD平分∠EFC.
(3)在(2)的条件下,求∠EDF的度数.
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【题目】如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD=AB+CD,四个结论中成立的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求证:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式为两人对抗赛,即把四种比赛项目写在4张完全相同的卡片上,比赛时,比赛的两人从中随机抽取1张卡片作为自己的比赛项目(不放回,且每人只能抽取一次)比赛时,小红和小明分到一组.(1)小明先抽取,那么小明抽到唐诗的概率是多少?
(2)小红擅长唐诗,小红想:“小明先抽取,我后抽取”抽到唐诗的概率是不同的,且小明抽到唐诗的概率更大,若小红后抽取,小红抽中唐诗的概率是多少?小红的想法对吗?
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