Question

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=1.25．
（1）求直线AC的解析式．
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线y=-x²经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？

Answer 1

分析 （1）先确定A点和C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）设M（t，-$\frac{1}{2}$t+1），讨论：当DM=DC时，（t-$\frac{5}{4}$）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解方程求出t，再求出MD的解析式，从而得到P点坐标；当MD=MC时，易得M点的坐标，接着求出MD的解析式，从而得到P点坐标；当CM=CD时，（t-2）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解方程求出t，再确定MD的解析式，从而得到P点坐标；
（3），如图2，作O′H⊥x轴于H，则O′D=OD=$\frac{5}{4}$，设O′（m，1），利用勾股定理得的（m-$\frac{5}{4}$）²+1²=（$\frac{5}{4}$）²，解得m₁=2，m₂=$\frac{1}{2}$，当m=2时，求出AE长得到E（0，$\frac{5}{2}$），利用待定系数法求出抛物线解析式为y=-（x+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{169}{64}$，然后利用抛物线的平移变换求解；当m=$\frac{1}{2}$时，同样可得抛物线解析式为y=-x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{8}$，再利用抛物线的平移变换求解．

解答 解：（1）∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（0，1），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（2）存在．
D（$\frac{5}{4}$，0），CD=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
设M（t，-$\frac{1}{2}$t+1），
当DM=DC时，（t-$\frac{5}{4}$）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解得t₁=$\frac{4}{5}$，t₂=2（舍去），则M（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），此时MD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$，P点坐标为（0，$\frac{5}{3}$）；
当MD=MC时，则M点的坐标为（$\frac{13}{8}$，$\frac{3}{16}$），此时MD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{8}$，P点坐标为（0，-$\frac{5}{8}$）；
当CM=CD时，（t-2）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解得t₁=$\frac{20+3\sqrt{5}}{10}$，t₂=$\frac{20-3\sqrt{5}}{10}$，
则M（$\frac{20+3\sqrt{5}}{10}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{20}$）或（$\frac{20-3\sqrt{5}}{10}$，$\frac{3\sqrt{5}}{20}$），
此时MD的解析式为y=-（$\sqrt{5}$-2）x+$\frac{5（\sqrt{5}-2）}{4}$或y=（$\sqrt{5}$+2）x-$\frac{5（\sqrt{5}+2）}{4}$，P点坐标为（0，$\frac{5\sqrt{5}-10}{4}$）或（0，$\frac{-5\sqrt{5}-10}{4}$），
综上所述，P点坐标为（0，$\frac{5}{3}$）或（0，-$\frac{5}{8}$）或（0，$\frac{5\sqrt{5}-10}{4}$）或（0，$\frac{-5\sqrt{5}-10}{4}$）；
（3）△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处，如图2，作O′H⊥x轴于H，则O′D=OD=$\frac{5}{4}$，
设O′（m，1），
在Rt△O′DH中，（m-$\frac{5}{4}$）²+1²=（$\frac{5}{4}$）²，解得m₁=2，m₂=$\frac{1}{2}$，
当m=2时，AO′=2，而EO′=EO=EA+1，
∴EA²+2²=（EA+1）²，解得EA=$\frac{3}{2}$，
∴E（0，$\frac{5}{2}$），
设平移的抛物线解析式为y=-x²+bx+c，
把E（0，$\frac{5}{2}$），D（$\frac{5}{4}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{5}{2}}\\{-\frac{25}{16}+\frac{5}{4}b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
∵y=-（x+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{169}{64}$，
∴抛物线y=-x²先向左$\frac{3}{8}$单位，再向上平移$\frac{169}{64}$单位，才能使得平移后的抛物线过点D和点E；
当m=$\frac{1}{2}$时，AO′=$\frac{1}{2}$，而EO′=EO=1-AE，
∴EA²+（$\frac{1}{2}$）²=（1-AE）²，解得EA=$\frac{3}{8}$，
∴E（0，$\frac{5}{8}$），
同样可得抛物线解析式为y=-x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{8}$，
∵y=-（x-$\frac{3}{8}$）²+$\frac{49}{64}$，
∴抛物线y=-x²先向右$\frac{3}{8}$单位，再向上平移$\frac{49}{64}$单位，才能使得平移后的抛物线过点D和点E．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象的平移变换和矩形的性质、折叠的性质和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；注意分类讨论思想的应用．