Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

Answer 1

 解：（1）B（1，）

（2）设过A点和原点可设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点B（1, ），得，

因此

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.所以，

因此直线AB为，

当x=－1时，，

因此点C的坐标为（－1，）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

        

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.