Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（3，-1），点M在x轴上，当AM-BM最大时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．

解答 解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′．
则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A-M′B＜AM-BM，即此时AM-BM最大．
∵B′是B（3，-1）关于x轴的对称点，
∴B′（3，1）．
设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直线AB′解析式为y=-2x+7．
令y=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴M点坐标为（$\frac{7}{2}$，0）．

点评 本题考查了轴对称--最短路线问题、坐标与图形性质．解题时可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．