Question

13．已知如图，在四边形ABDC中，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D．P为BD上一动点（不与B、D重合），连结PA、PC，AB=9，CD=4，
探究1：若BD=10，在BD上是否存在点P，使△PAB与△PCD相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由；
探究2：若BD=12，在BD上存在2个这样的点P，使△PAB与△PCD相似．并直接写出BP的长$\frac{108}{13}$或6；
探究3：若BD=15，在BD上存在3个这样的点P，使△PAB与△PCD相似．并直接写出BP的长$\frac{135}{13}$或3或12
探究4：若BD=m，试直接写出m的取值与点P的个数之间的关系：当m＜12时有1个P点，当m=12时有2个P点，当m＞12时有3个P点．

Answer 1

分析 （1）设BP=x，则DP=10-x，分两种情况进行讨论：若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，分别求得x的值即可；
（2）设BP=x，则DP=12-x，分两种情况进行讨论：若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，分别求得x的值即可；
（3）设BP=x，则DP=15-x，分两种情况进行讨论：若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，分别求得x的值即可；
（4）依据探究1，探究2，探究3中的结论，即可得到m的取值与点P的个数之间的关系．

解答 解：（1）存在，设BP=x，则DP=10-x，
若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{10-x}=\frac{x}{4}$，
得方程x²-10x+36=0，
∵△=100-144=-44＜0，
∴该方程无解；
若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{9}{x}$=$\frac{4}{10-x}$，
解得x=$\frac{90}{13}$，
∴BP的长为$\frac{90}{13}$；
（2）存在2个这样的点P，使△PAB与△PCD相似．
设BP=x，则DP=12-x，
若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{12-x}$=$\frac{x}{4}$，
得方程x²-12x+36=0，
解得x=6；
若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{9}{x}$=$\frac{4}{12-x}$，
解得x=$\frac{108}{13}$，
∴BP的长为$\frac{108}{13}$或6；
故答案为：2，$\frac{108}{13}$或6；
（3）存在3个这样的点P，使△PAB与△PCD相似．
设BP=x，则DP=15-x，
若△ABP∽△PDC，则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{15-x}$=$\frac{x}{4}$，
得方程x²-15x+36=0，
解得x=3或12；
若△ABP∽△CDP，则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{9}{x}$=$\frac{4}{15-x}$，
解得x=$\frac{135}{13}$，
∴BP的长为$\frac{135}{13}$或3或12；
故答案为：3，$\frac{135}{13}$或3或12；
（4）由题可得，若BD=m，则当m＜12时有1个P点，当m=12时有2个P点，当m＞12时有3个P点．
故答案为：当m＜12时有1个P点，当m=12时有2个P点，当m＞12时有3个P点．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行计算求解．解题时注意：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．