Question

2．二次函数y=-x²-2x图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为0＜b＜1或b＜-$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定b的取值范围．

解答 解：如图，当直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过点A（-2，0）时，b=1，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过点O（0，0）时，b=0，
∴0＜b＜1时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与新图形有两个交点．
翻折后的抛物线为y=x²+2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$方程组有一组解，消去y得到：2x²+3x-2b=0，
∵△=0，
∴9+16b=0，
b=-$\frac{9}{16}$，
由图象可知，b＜-$\frac{9}{16}$时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与新图形有两个交点．
综上所述0＜b＜1或b＜-$\frac{9}{16}$时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与新图形有两个交点．

点评 本题考查一次函数、根的判别式等知识，解题的关键是正确画出图象，找关键点解决问题，把只有一个交点问题转化为方程组只有一组解解决，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．